Geometria planare e coordinate di un punto PDF Stampa E-mail
Scritto da ventus85   
Lunedì 29 Novembre 2010 17:58

Le coordinate non omogenee di un punto dell'immagine sono , mentre le coordinate omogenee sono .
Un punto in un piano possiamo rappresentarlo con le coordinate non omogenee oppure omogenee a seconda del tipo di geometria utilizzata. Possiamo passare dalle non omogenee a quelle omogenee: con x3 diverso da 0. Infatti se è 0 ho un punto all'infinito o improprio.
In particolare se ho x3=1 ottengo . Questo tipo di rappresentazione è a meno di un fattore di scala.

Una retta in un piano posso scriverla in questo modo dove è la rappresentazione di una retta in coordinate omogenee.
Un punto giace su una retta se:


Ricordando una proprietà del prodotto scalare:

La retta impropria o all'infinito ha coordinate e passa per i punti impropri. I punti e le linee di fuga sono le immagini prospettiche di punti e rette improprie. sia il punto sia la retta vivono sul piano all'infinito.
La retta passante per due punti ha questa equazione: .
Al contrario il punto intersezione tra due rette è invece così descritto:
Queste due equazioni fanno capire che nelle geometria proiettiva vale il principio di dualità: tutti i teoremi che riguardano le rette è possibile usarli "specularmente" per i punti.

 

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