Significato geometrico delle omografie PDF Stampa E-mail
Scritto da ventus85   
Domenica 12 Dicembre 2010 23:44
Ricordiamo
H, come detto precedentemente, è 3x3 e ha 8 DOF.
I parametri di H hanno un significato geometrico ben preciso. H la posso scrivere anche così:

A è 2x2 (4 DOF), t è 2x1 (2 DOF) e l è 3x1 (3 DOF). I parametri di l e due parametri di A fanno cambiare la forma agli oggetti, il primo in modo non lineare, il secondo in modo lineare. A la posso a sua volta decomporre con il metodo SVD:

dove hoh due matrici di rotazione che sono ortogonali. I due lambda servono per fare lo stretch nelle due direzioni. R_theta e i due lambda sono i responsabili della deformazione.
Secondo come viene definita, H ha delle trasformazioni di tipo diverso:
  • trasformazione di isometria: usa una traslazione (rappresentata dal vettore t) e una rotazione del piano (rappresentata dall'angolo phi). Preserva la distanza euclidea. In tal caso H è così definita:

    Se epsilon è uguale a 1 si preserva l'orientazione. In tal caso si parla di trasformazione euclidea, tipica dei corpi rigidi. Se invece epsilon è -1 non si preserva l'orientazione e si parla di reverse orientation. Una trasformazione euclidea la posso descrivere in modo più conciso così:
    dove R è 2x2 ed è ortogonale (cioè tale che il prodotto dalla sua trasposta per la matrice originale restituisce la matrice identità).
    Essendo una composizione di una traslazione con una rotazione ho 2+1=3 DOF.
    Posso calcolare questa trasformazione usando due corrispondenze.
    E' invariante a:
    • lunghezze;
    • angoli;
    • area;
    e non modifica ne la forma ne la scala.
  • trasformazione di similarità (o metrica): qui in più ho la scalatura.

    Ha 4 DOF e si può calcolare usando due corrispondenze. Invarianti:
    • angoli;
    • rapporto tra lunghezze;
    • rapporto tra aree;
    e quindi non modifica la forma.
  • trasformazione affine: è data da una trasformazione non-singular lineare seguita da traslazione.

    con A 2x2 non singolare.
    Ha 6 DOF (4+2) e la trasformazione può essere calcolata con tre corrispondenze.
    Posso decomporre tramite il metodo SVD la matrice affine A:
    quindi posso vederla come la concatenazione di una rotazione di un angolo phi, una scalatura (con i due lambda), una rotazione inversa (data da - phi) e un ulteriore rotazione di un angolo theta.
    Invarianti:
    • parallelismo tra linee;
    • rapporto tra le lunghezze delle linee parallele;
    • rapporto tra aree;

    Si parla di trasformazione affine che preserva l'orientazione se il determinante di A è positivo, altrimenti non la preserva.
  • trasformazione proiettiva

    viene definita come una trasformazione generale non lineare di coordinate omogenee.
 

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